Парадоксальная математика

ПРЕДИСЛОВИЕ 7 ВВЕДЕНИЕ 10 1. История и философия математики 13 1.1. Предмет математики 13 1.2. Исторические периоды развития математики 15 1.3. Аксиоматический метод в математике 17 1.4. Геометрия Евклида – первая естественнонаучная теория. Исторический обзор обоснования геометрии 20 1.5. Неевклидовы геометрические системы 24 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 1 26 2. Математические парадоксы 27 2.1. Вероятностные парадоксы 27 2.1.1. Теория вероятности 27 2.1.2. Задача трёх узников 30 2.1.3. Парадокс пари (парадокс галстуков) 32 2.1.4. Парадокс Парро́ндо 35 2.1.5. Парадокс дней рождения 39 2.1.6. Задача о 100 узниках и 100 ящиках 48 2.1.7. Задача о двух конвертах (парадокс двух конвертов) 54 2.1.8. Парадокс Монти Холла 58 2.1.9. Нетранзитивные кости 64 2.1.10. Ошибка игрока 70 2.1.11. Парадокс Берксона 74 2.1.12. Парадокс Бертрана (вероятность) 75 2.1.13. Парадокс дружбы 80 2.1.14. Парадокс «Коробок Бертрана» 80 2.1.15. Парадокс лифта 81 2.1.16. Парадокс мальчика и девочки 83 2.1.17. Парадокс Симпсона 88 2.1.18. Парадокс «Спящей красавицы» 91 2.1.19. Санкт-Петербургский парадокс 94 2.2. Парадоксы теории множеств 97 2.2.1. Теория множеств 97 2.2.2. Парадокс Ба́наха – Та́рского 110 2.2.3. Теорема (или парадокс) Хаусдорфа 112 2.2.4. Парадокс Скулема 114 2.2.5. Парадокс Рассела 115 2.2.6. Парадокс Галилея 123 2.2.7. Парадокс Кантора 124 2.2.8. Парадокс Бурали-Форти 125 2.2.9. Парадокс «Гранд-отель» 125 2.2.10. Парадокс Мириманова (парадокс класса всех фундированных классов) 128 2.2.11. Парадокс Тристрама Шенди 128 2.2.12. Множество Нико́дима 129 2.3.13. Феномен Уилла Роджерса 130 2.3. Статистические парадоксы 131 2.3.1. Парадокс Линдли 131 2.4. Рекурсивные парадоксы 135 2.4.1. Рекурсия 135 2.4.2 Парадокс лжеца 141 2.4.3. Парадокс интересных чисел 146 2.4.4. Парадокс Риша́ра 147 2.5. Топологические парадоксы 149 2.5.1. Топология 149 2.5.2. Выворачивание сферы 152 2.6. Геометрические парадоксы 153 2.6.1. Геометрия 153 2.6.2. Стержень Витгенште́йна 161 2.6.3. Задача о 18 точках (парадокс 18 точек) 163 2.7. Математические парадоксы 164 2.7.1. Математика 164 2.7.2. Знакочередующийся ряд натуральных чисел 173 2.7.3. Игра Пенни 181 2.7.4. Исчезновение клетки (появление клетки) 182 2.7.5. Парадокс Карри 185 2.7.6. Парадокс маляра 186 2.7.7. Парадокс Браеса 188 2.7.8. Парадокс вращения монеты 189 2.7.9. Парадокс картофеля 194 2.7.10. Парадокс Крамера 195 2.7.11. Парадокс Кэрролла 197 2.7.12. Парадокс неожиданной казни 198 2.7.13. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона 201 2.7.14. Ряд из натуральных чисел 202 2.7.15. Парадокс Клини – Россера 208 2.8. Физико-математические парадоксы 209 2.8.1. Колесо Аристотеля 209 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 2 211 3. Невозможная фигура 213 3.1. Невозможный треугольник 213 3.2. Лестница Пенроуза (бесконечная или невозможная лестница) 217 3.3. Невозможный трезубец 217 3.4. Невозможный куб 218 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 3 220 4. Удивительные числа 221 4.1. Многообразие чисел 221 4.2. Число пи (π) 231 4.3. Число Эйлера (е) – основание натурального логарифма 247 4.4. Золотое сечение (ф) 255 4.5. Сверхзолотое сечение (ψ) 264 4.6. Числа Фибоначчи (f) 265 4.7. Постоянная Капрекара 273 4.8. Число Мерсе́нна (m) 275 4.9. Наибольшее известное простое число 277 4.10. Число Грэма (g) 280 4.11. Число ноль (0) 283 4.12. Самое маленькое положительное число отличное от нуля 294 4.13. Удивительное число 1089 295 4.14. Комплексное число или мнимая единица (i) 297 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 4 319 5. Фрактал 320 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 5 328 6. Удивительная математика 329 6.1. Арифметика 329 6.2. Таблица умножения 354 6.3. Правила быстрого устного счета 360 6.4. Основная теорема арифметики 367 6.5. Великая теорема Ферма 373 6.6. Алгебра 378 6.7. Основная теорема алгебры 384 6.8. Основная теорема анализа (теорема Ньютона – Лейбница) 386 6.9. Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) 389 6.10. Теоремы Гёделя 393 6.10.1. Теорема Гёделя о полноте 393 6.10.2. Удивительная теорема Гёделя о неполноте 393 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 6 402 7. Бесконечность 403 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 7 425 8. Комбинато́рика 426 8.1. Общая характеристика комбинаторики 426 8.2. Пропорция 437 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 8 441 9. Главные математические задачи современности 442 9.1. Основные математические проблемы современности 442 9.2. Известные математические награды 452 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 9 458 10. Математические задачки на сообразительность (с ответами) и головоломки 459 10.1. Математические задачки с ответами на сообразительность 459 10.2. Головоломка «Кубик Рубика» 484 10.3. Головоломка «Пятнашка» 490 10.4. Головоломка «Танграм» 497 10.5. Головоломка «Стомахион» 501 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 10 503 11. Математика в информационных технологиях 504 11.1. Информатика (информационные технологии) 504 11.2. Практическое применение математики в информатике 525 11.3. Бу́лева алгебра 527 11.4. Двоичный (бинарный) код 530 11.5. Алгоритм 537 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 11 554 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ И ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 555 ПРИЛОЖЕНИЕ 558